**(a) \( (x, y) \subseteq \mathbb{Z}[x, y]\):**In \(\mathbb{Z}[x, y]\) sind die Ideale der Form \((x, y)\) keine Primideale. Ein Primideal sollte die Eigenschaft haben, dass das Produkt von zwei Elementen im Ideal auch im Ideal ist. Im vorliegenden Fall ist zum Beispiel \(xy\) in \((x, y)\), aber weder \(x\) noch \(y\) sind im Ideal enthalten. Wenn \(xy\) in einem Ideal enthalten ist, sollte sowohl \(x\) als auch \(y\) im Ideal sein, um ein Primideal zu bilden.**(b) \( (x, y) \subseteq \mathbb{Q}[x, y]\):**Das gleiche Argument wie in (a) gilt hier. Das Ideal \((x, y)\) in \(\mathbb{Q}[x, y]\) ist kein Primideal.**(c) \( \left(y-x^{2}, y-1\right) \subseteq \mathbb{Q}[x, y]\):**Betrachten wir die Ringhomomorphie \(\varphi: \mathbb{Q}[x, y] \rightarrow \mathbb{Q}[t]\) mit \(t = x^{2}\). Dann ist \(\varphi(y - x^{2}) = t - 1\) und \(\varphi(y - 1) = t - 1\). Da \(t - 1\) irreduzibel in \(\mathbb{Q}[t]\) ist (es hat keine nicht-trivialen Teiler in \(\mathbb{Q}[t]\)), ist \((y - x^{2}, y - 1)\) ein Primideal in \(\mathbb{Q}[x, y]\).
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