Man braucht eigentlich nur die angegebenen Terme "ausrechnen":$$\binom{m}{k}\frac{1}{m^k}=\frac{1}{k!}\prod_{i=1}^k\frac{m-i+1}{m}=\frac{1}{k!}\prod_{i=1}^k(1-\frac{i-1}{m})$$Die Zuordnung \(m \mapsto 1-\frac{i-1}{m}\) ist wachsend, also auch der gesamte Term.Damit gilt für \(m<n\):$$a_m=\sum_{k=0}^m \binom{m}{k}\frac{1}{m^k}\leq \sum_{k=0}^m \binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\leq \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=a_n$$
AufgabeAufgabe 12Welche Reihen sind konvergent? Testen Sie mithilfe eines geeigneten Kriteriums (Quotientenkriterium, Majorantenkriterium oder Minorantenkriterium). Ein Grenzwert braucht nicht angegeben zu werden.a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{12
zum Artikel gehenWurde vor kurzem erst hier beantwortet: https://www.mathelounge.de/1047905/berechne-1-i-2023-und-frac-1-3-2-2023
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